ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

Transcript

1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι και μηδέν έξω. Θα θεωρήσουμε γνωστές τις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του σωματίου μας, στην αναπαράσταση cos kx,,3,5,... θέσης, x, και τις ενεργειακές στάθμες του, si kx,, 4,6,...,,,... k. Η διασπορά της ενέργειας είναι Hˆ., όπου ˆ H και Ας υπολογίσουμε πρώτα τη μέση τιμή της ενέργειας. Θα δοκιμάσουμε να την υπολογίσουμε στην αναπαράσταση θέσης. Θα έχουμε Αναπαράσταση θέσης Hˆ dx x x Hˆ dx x x Hˆ ˆ dx x x Hˆ dx x Hˆ x x dx x H x x ˆ Ο τελεστής Hˆ στην αναπαράσταση θέσης Επειδή η κυματοσυνάρτηση μηδενίζεται έξω από το πηγάδι, σχέση γράφεται dx x H x x Όμως ˆ x, η τελευταία Μέσα στο πηγάδι, d x, V x i ˆ ˆ pˆ ( ˆ) ˆ p x dx d H V x H x V xˆ x V x dx ˆ d H x, x dx

2 d Άρα dx x x dx x x dx, και επειδή η x είναι πραγματική συνάρτηση, καταλήγουμε ότι dx x x Στην (), η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού (η είναι σταθερά), επομένως το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πολύ εύκολα. Είναι όμως καλά ορισμένο το ολοκλήρωμα dx x x ; 5 x Η x 8 μηδενίζεται στα τοιχώματα του πηγαδιού. Πράγματι 5 5 και 8 8 γιατί η x είναι άρτια. Επομένως. Έτσι, η x είναι συνεχής στα τοιχώματα του πηγαδιού, x, επομένως είναι συνεχής παντού. Η x έξω από το πηγάδι είναι μηδέν και μέσα στο πηγάδι είναι x x x x x 8 8. Έτσι, λοιπόν, στα 8 τοιχώματα του πηγαδιού, x, η x έχει πεπερασμένη ασυνέχεια. Επομένως, η τιμή της δεν ορίζεται μονοσήμαντα στα τοιχώματα του πηγαδιού. Αυτό x σημαίνει ότι στα δύο ακραία αυτά σημεία, η δεύτερη παράγωγος, x () x, εν γένει δεν ορίζεται. Εφόσον δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τον τύπο ασυνέχειας της στα τοιχώματα του πηγαδιού, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ολοκλήρωμα dx x x για να υπολογίσουμε τη μέση ενέργεια,, στην αναπαράσταση θέσης. Με την ίδια λογική, αν δοκιμάσουμε να γράψουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ενέργειας,, στην αναπαράσταση θέσης, θα πάρουμε x

3 ˆ ˆ ˆ ˆ dx x H x x dx x H x x dx x H x H x x 4 d d (4) dx dx (4) (4) dx x x dx x x 4 4 x dx x x dx x x Εφόσον, όπως δείξαμε, το ολοκλήρωμα dx x x είναι προβληματικό, θα είναι προβληματικό κάθε ολοκλήρωμα με ανώτερη παράγωγο, δηλαδή κάθε ( ) ολοκλήρωμα της μορφής dx x x, με. Επομένως, το ολοκλήρωμα (4) dx x x είναι προβληματικό, άρα δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ενέργειας,, στην αναπαράσταση θέσης. Μπορούμε να δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε τις μέσες τιμές και στην αναπαράσταση ορμής. Γενικά, για έναν ερμιτιανό τελεστή Â που παριστάνει το φυσικό μέγεθος A, θα έχουμε Αναπαράσταση ορμής A Aˆ dp p p Aˆ dp p p Aˆ ˆ dp p p Aˆ dp p A p p A dp p A p p () ˆ Από τη (), παίρνουμε dp p H p p ˆ ˆ dp p H p p Η έκφραση του Κυματοσυνάρτηση στην τελεστή Aˆ στην αναπαράσταση ορμής αναπαράσταση ορμής Στην αναπαράσταση ορμής, ˆp p, οπότε η χαμιλτονιανή του συστήματός μας γράφεται ˆ p H (μέσα στο πηγάδι). Άρα

4 p dp p p dp p p Βαθμωτό p 4 4 dp p p dp p p Παρατηρήστε ότι τα ολοκληρώματα ορμής εκτείνονται, εν γένει, από το έως το. Τα ολοκληρώματα ορμής dp p p και 4 dp p p δεν έχουν την «παθογένεια των παραγώγων», που εμφανίζεται στην αναπαράσταση θέσης. Εφόσον p, είναι συνεχής, τα η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής, ολοκληρώματα αυτά είναι καλά ορισμένα. Για να προχωρήσουμε, χρειαζόμαστε την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής. Αν πάρουμε τον μετασχηματισμό Fourier της x και κάνουμε τις σχετικές πράξεις το αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη καταλήγουμε ότι 5p p p p p p cos si p p p p, όπου p, η κλίμακα ορμής του απειρόβαθου πηγαδιού. p έχει ένα μόνο ανώμαλο σημείο, το p, το οποίο αποδεικνύεται το Η αφήνουμε ως άσκηση στον αναγνώστη ότι είναι αιρόμενο (επουσιώδες) και μάλιστα είναι li p p Έτσι, αν ορίσουμε 5. p, η p 5 p ολοκληρώματα dp p p και 4 dp p p Επομένως, οι εκφράσεις για τις μέσες τιμές και είναι συνεχής παντού, οπότε τα είναι καλά ορισμένα. στην αναπαράσταση ορμής είναι καλά ορισμένες και, θεωρητικά, υπολογίσιμες. Ωστόσο, η μορφή της κυματοσυνάρτησης p, και ειδικότερα η μορφή της p, καθιστά δύσκολο τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων. Έτσι, πρέπει να αναζητήσουμε άλλον τρόπο υπολογισμού των μέσων τιμών και, και κατ επέκταση της διασποράς της ενέργειας,. Εφόσον ξέρουμε τις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του συστήματός μας, μπορούμε να δουλέψουμε στην «αναπαράσταση ενέργειας», δηλαδή να αναπτύξουμε την κυματοσυνάρτηση x στη βάση των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας, και από το ανάπτυγμα να προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τις μέσες τιμές και.

5 Οι ιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής Ĥ αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων (χώρος Hilbert) του σωματίου μας. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε την κατάσταση ως γραμμικό συνδυασμό των. c x x c c x c x x Οι ιδιοκαταστάσεις του πηγαδιού ξεκινάνε από, δηλαδή x c x. Επίσης είναι c c c c c c dx x x dx x x dx x x ˆ, σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων x του τελεστή θέσης dx x x c dx x x Επομένως x c x (3), όπου c dx x x (4) Θα μπορούσαμε να είχαμε πάρει «έτοιμες» τις σχέσεις (3) και (4), αλλά θελήσαμε να τις αποδείξουμε για λόγους πληρότητας. Θα υπολογίσουμε τώρα τα πλάτη c. 5 x Είναι x 8 i) Για,3,5,...,, όπου τώρα,,,... cos, x k x Άρα x και μηδέν αλλού 5 x cos 8 c dx x x dx k x 5 x 5 x dx cosk x dx cosk x Άρτια Άρτια Άρτια

6 x x Όμως dxcosk x dx cosk x dx cosk x dxcos k x si k x si k Και k k Αλλά k k Επομένως dxcosk x si k si k si cos dx cosk x Κρατάμε επίσης ότι si k k x dx k x dx k x x Επίσης, είναι cos cos Και dx cos k x x dx si k x x si k x x dxsi k x x k k k dx cosk x x k cosk x x dx cosk x k k Όμως Άρα cos k cos cos si cos cos k dx k x x dx k x

7 k dx cosk x x Επομένως 5 x 5 x c dx cos kx dx cos kx dx cos kx 5 dx cosk x dx cosk x x c ii) Για,4,6,...,, όπου τώρα,,3,... x si kx, Άρα x και μηδέν αλλού 5 x c dx x x dx si k x 8 5 x dxsi k x c Επομένως Περιττή Άρτια Περιττή x c x c x c x c x cos 3 cos k x x k x (5) Η (5) είναι το ανάπτυγμα της κυματοσυνάρτησης στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του πηγαδιού. Παρατηρήστε ότι το ανάπτυγμα έχει x

8 μόνο συνημίτονα, δηλαδή άρτιες συναρτήσεις. Δεν υπάρχουν τα ημίτονα, που είναι περιττές συναρτήσεις. Αυτό συμβαίνει διότι η κυματοσυνάρτηση x είναι άρτια. Η πιθανότητα το σωμάτιο να βρεθεί στην ιδιοκατάσταση ενέργεια P, είναι P c. Επομένως, είναι P x c, όπου θα έχει και P c Η μέση ενέργεια είναι P P Από τη βιβλιογραφία βρίσκουμε ότι 4 4. Οπότε Παρατηρήστε ότι 4,93. Βλέπουμε δηλαδή ότι στη συγκεκριμένη κατάσταση, η μέση ενέργεια του σωματίου είναι πολύ κοντά στη βασική στάθμη του. Η μέση τιμή του τετραγώνου της ενέργειας είναι 96 P P P , όπου πήραμε έτοιμο το 8 άθροισμα της σειράς, το οποίο μπορούμε επίσης να βρούμε στη βιβλιογραφία. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας, Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosta@hotail.co 8.